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CFD Course

by Joerg Ettrich

Season 2

Folge 5 - Die moderne Elite – Krylov-Unterraum-Verfahren

Diese Episode mit dem Titel „Die moderne Elite – Krylov-Unterraum-Verfahren“ führt uns zu den Algorithmen, die das Rückgrat fast jeder modernen Simulation (insbesondere in der CFD) bilden. Im Fokus stehen dabei folgende Konzepte aus Ihren Quellen: Die Idee der Projektion: Wie wir Näherungslösungen aus speziellen Unterräumen – den Krylov-Unterräumen – extrahieren, um die Lösung riesiger Systeme effizient anzunähern Der Arnoldi-Prozess: Die mathematische Eleganz, mit der wir eine orthonormale Basis für diese Unterräume konstruieren GMRES (Generalized Minimal Residual): Der universelle Löser für allgemeine Matrizen. Wir besprechen, wie das Residuum Schritt für Schritt über eine Hessenberg-Matrix und Givens-Rotationen minimiert wird CG (Conjugate Gradient): Das hocheffiziente Pendant für symmetrische, positiv definite Matrizen. Wir erklären die Bedeutung der A-Orthogonalität (Konjugiertheit) der Suchrichtungen und warum dieses Verfahren so rasant konvergiert Performance-Sprung: Warum diese Verfahren klassischen Iterationen wie Jacobi oder Gauß-Seidel in puncto Geschwindigkeit und Stabilität haushoch überlegen sind

Folge 4 - Wenn Elimination versagt – Einführung in iterative Verfahren

Diese Episode mit dem Titel „Wenn Elimination versagt – Einführung in iterative Verfahren“ markiert den Übergang von exakten zu approximativen Lösern. Wir widmen uns der Frage, wie wir Systeme bändigen, die für den Gauß-Algorithmus schlicht zu groß sind. Im Fokus stehen dabei folgende Konzepte aus Ihren Quellen: Die Grenzen der Direktheit: Warum der Rechenaufwand von O(n3) bei dünnbesetzten Matrizen (Sparse Matrices) in der Praxis – etwa in der CFD – nicht mehr tragbar ist Das Prinzip des Matrix-Splittings: Die mathematische Zerlegung A=M−N, die es uns erlaubt, ein LGS in eine Fixpunktiteration zu überführen Die Klassiker der Iteration:Jacobi-Verfahren (Gesamtschrittverfahren): Die Idee, jede Gleichung isoliert nach einer Unbekannten aufzulösen Gauß-Seidel-Verfahren (Einzelschrittverfahren): Die Effizienzsteigerung durch die sofortige Verwendung bereits aktualisierter Werte SOR (Successive Over-Relaxation): Die Beschleunigung der Konvergenz durch den Relaxationsparameter ω Intuition der Relaxation: Wie man durch das schrittweise „Annihilieren“ des Residuums der Lösung näherkommt Wann kommen wir an? Die Analyse der Konvergenz über das strenge Zeilensummenkriterium (diagonale Dominanz) und die fundamentale Bedingung, dass der Spektralradius der Iterationsmatrix kleiner als 1 sein muss

Folge 3 - Die Kunst der Faktorisierung – LU, Cholesky & QR

Diese Episode mit dem Titel „Die Kunst der Faktorisierung – LU, Cholesky & QR“ ist ein entscheidender Wendepunkt in unserer Reihe. Während wir in Folge 2 den Gauß-Algorithmus als Werkzeug kennengelernt haben, betrachten wir nun die Matrixzerlegung als eine Form der „mathematischen Vorbereitung“. Im Fokus stehen folgende Konzepte aus Ihren Quellen: Die „zwei Tricks“: Nach von Neumann und Goldstine besteht das Lösen nicht mehr aus einem einzigen Prozess, sondern aus der Faktorisierung A=LR und der anschließenden Vorwärts- und Rückwärtssubstitution LU-Zerlegung: Wir besprechen die Eindeutigkeit der normierten Dreieckszerlegung und warum sie das theoretische Fundament für fast alle direkten Löser bildet Cholesky-Verfahren: Für symmetrische, positiv definite Matrizen (s.p.d.) zeigen wir, wie man durch Ausnutzung der Symmetrie den Rechenaufwand halbiert (A=LLT) QR-Zerlegung – Der Goldstandard: Wir führen unitäre (orthogonale) Matrizen ein. Sie erfahren, warum Verfahren wie Householder-Reflexionen, Givens-Rotationen oder das modifizierte Gram-Schmidt-Verfahren in puncto numerischer Stabilität unschlagbar sind Der „Nullte Hauptsatz der Numerik“: Wir thematisieren, warum die Numerik bereits Probleme bekommt, wenn die Theorie nur „nah an der Null“ ist

Folge 2 - Der Gauß-Algorithmus – Das Arbeitspferd

Diese Episode mit dem Titel „Der Gauß-Algorithmus – Das Arbeitspferd“ widmet sich dem Herzstück der direkten Löser. Im Fokus stehen dabei folgende Aspekte aus Ihren Quellen: Systematische Elimination: Der Übergang von der intuitiven Handarbeit zur algorithmischen Transformation in die Dreiecksform Die „eierlegende Wollmilchsau“: Warum das Gauß-Verfahren universell für Systeme beliebiger Größe und Form einsetzbar ist Numerische Stabilität und Pivots: Warum wir nicht einfach blind eliminieren dürfen, sondern Spaltenpivotisierung benötigen, um durch die Wahl des betragsmäßig größten Elements (Pivot) die Genauigkeit am Computer zu sichern Analyse von Sonderfällen: Was uns „Nullzeilen“ oder widersprüchliche Gleichungen über die Lösbarkeit (unlösbar vs. unendlich viele Lösungen) verraten

Folge 1 - Intuition und Grundlagen

In dieser ersten Episode mit dem Fokus „Intuition und Grundlagen“ wird unter anderem Folgendes beleuchtet: Warum LGS? Die Notwendigkeit von Systemen in Technik und Alltag Das Schokoriegel-Beispiel: Intuitive Lösung mittels Einsetzungsverfahren nach dem „Klartext“-Prinzip von Walz Mathematische Definition: Was macht ein System eigentlich „linear“? Speichereffizienz: Wie der Computer Matrizen (z. B. im Column-major order) ablegt, um Level-3-BLAS-Operationen optimal zu nutzen

Season 1

Folge 14 - Wie Supercomputer die Navier-Stokes-Gleichungen lösen

Zum Abschluss der Serie skalieren wir nach oben. Wir besprechen High-Performance Computing (HPC) und wie man CFD-Codes parallelisiert. Die Schwerpunkte sind... Gebietszerlegung (Domain Decomposition) Parallelisierungs-Frameworks: MPI für Cluster, OpenMP für Multi-Core und CUDA für GPUs Skalierbarkeit und Engpässe in der modernen Simulationstechnik Du lernst, wie du deinen Code fit machst für die leistungsfähigsten Rechner der Welt!

Folge 13 - Gitterqualität entscheidet über die physikalische Wahrheit

„Garbage in, garbage out“ – das gilt besonders für das Gitter. Wir analysieren die Gittergenerierung und ihren Einfluss auf die Ergebnisqualität. Die Schwerpunkte sind... Strukturierte vs. unstrukturierte Gitteralgorithmen Metriken für die Gitterqualität: Aspektverhältnis, Schiefe und Orthogonalität Gitterkonvergenzstudien: Wie fein ist fein genug? Du lernst, warum das Netz oft wichtiger ist als das Modell selbst!

Folge 12 - Strömungssimulation von Navier-Stokes bis zur KI

Wir blicken auf die Grenze der Forschung. Es geht um hybride Verfahren und moderne Erweiterungen der klassischen CFD. Die Schwerpunkte sind... Hybride RANS-LES-Verfahren (DES, SAS, DDES, IDDES) Wandmodellierte LES (WMLES) für Grenzschichten Ausblick: Wie Künstliche Intelligenz und Machine Learning die CFD verändern Du lernst, die neuesten Strategien, um Präzision und Geschwindigkeit zu vereinen!

Folge 11 - Eigene RANS Solver für turbulente Strömungen

In der Industrie dominiert ein Ansatz: RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes). Wir zeigen dir, wie man diese statistischen Modelle versteht und implementiert. Die Schwerpunkte Die Reynolds-Mittelung der Navier-Stokes-Gleichungen Physik der Reynolds-Spannungen und das Schließungsproblem Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Erstellung eines eigenen RANS-Solvers Du lernst, das Handwerkszeug für die am häufigsten eingesetzte Turbulenzmodellierung!

Folge 10 - Turbulenzmodellierung von DNS bis LES

Wenn DNS zu teuer ist, ist Large Eddy Simulation (LES) oft die Rettung. Wir erklären, wie wir nur die großen Wirbel berechnen und die kleinen modellieren. Die Schwerpunkte sind... Das Prinzip der Filterung in der LES Vom klassischen Smagorinsky-Modell zu modernen Subgrid-Scale-Modellen Einordnung: Wo steht LES zwischen DNS und RANS? Du lernst, wie du komplexe turbulente Strukturen mit vertretbarem Aufwand simulieren kannst!

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